Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Paso 3.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ y $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $x$ y $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$