Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.9

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.11

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2.12

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Paso 4.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Paso 4.3.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Paso 4.3.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 4.3.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 4.3.13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Paso 4.3.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Paso 4.3.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 4.3.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 4.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.3.16

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.3.17

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 4.3.18

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$