Cálculo Ejemplos

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ como $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ .

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.2

Expande $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Paso 1.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Paso 1.3.1.6.2

Multiplica $\frac{1}{p^{2}}$ por $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Paso 1.3.1.6.3

Multiplica $\frac{1}{p^{2}}$ por $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Paso 1.3.1.6.4

Multiplica $p^{2}$ por $p^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.6.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Paso 1.3.1.6.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 1.3.2

Resta $\frac{2}{p^{2}}$ de $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1

Multiplica $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

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Paso 1.4.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $p$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $p$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 6.2

Mueve $p^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(p^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $p^{- 2}$ con respecto a $p$ es $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $p^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${(p^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Paso 8.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $p^{- 4}$ con respecto a $p$ es $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Paso 10

Simplifica.

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$