Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{x^{2} + 3 x} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 3 x}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1}{x (x + 3)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 3)$ .

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6.1.2

Divide $A (x + 3)$ por $1$ .

$1 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.1.6.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + 3 A + (B) (x)$

$1 = A x + 3 A + B x$

Paso 2.1.7

Mueve $3 A$ .

$1 = A x + B x + 3 A$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 3 A$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 3 A$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 2.3.1.2

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{1}{3} + B$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} + B = 0$ .

$\frac{1}{3} + B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3.2

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Paso 2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Paso 2.5.4

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 3}$

Paso 2.5.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x + 3$ .

$3 \int \frac{1}{3 x} - \frac{1}{3 (x + 3)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int \frac{1}{3 x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

Paso 8

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 8.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C))$

Paso 10

Simplifica.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| u |)) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Paso 12.1.2

Combina $\ln (| x + 3 |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{3}) + C$

Paso 12.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x + 3 |)}{3} + C$

Paso 12.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.4.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Paso 12.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$