Cálculo Ejemplos

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Paso 5.2

Factoriza $4 y'$ de $- 4 x y' + 4 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4 y'$ de $- 4 x y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $4 y'$ de $4 y y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $4 y'$ de $4 y' (- x) + 4 y' y$ .

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ por $4 (- x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ por $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- x + y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 (- x + y)$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{1}{- x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- x + y) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{- x + y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Paso 5.3.3.5

Para escribir $\frac{y}{- x + y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.3.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (- x + y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Multiplica $\frac{y}{- x + y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

Paso 5.3.3.6.2

Reordena los factores de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.9.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9.4

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

Paso 5.3.3.9.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

Paso 5.3.3.9.7

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

Paso 5.3.3.9.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

Paso 5.3.3.9.9

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Paso 5.3.3.9.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Paso 5.3.3.9.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$