Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.2.5.3

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

Paso 1.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 1.1.3.1.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 1.1.3.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Suma $15$ y $1$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.6

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \sqrt{5 x + 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

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Paso 1.3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 1}$ como ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.9.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.9.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 1$ .

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Paso 1.3.9.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Paso 1.3.9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Paso 1.3.9.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Paso 1.3.9.4

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Paso 1.3.9.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Paso 1.3.9.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

Paso 1.3.9.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.9.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Paso 1.3.9.13

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Paso 1.3.9.14

Suma $5$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Paso 1.3.9.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Paso 1.3.9.16

Combina $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Paso 1.3.9.17

Mueve $5$ a la izquierda de ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 1.3.9.18

Mueve ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.10

Resta $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

Paso 1.5

Reescribe ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5 x + 1}$ .

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Paso 2.6

Mueve el término $\frac{2}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Paso 2.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Paso 2.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Paso 2.9

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Paso 2.10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.2

Resta $1$ de $6$ .

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $5$ de $- 1 \cdot 5$ .

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Paso 4.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

Paso 4.6

Suma $15$ y $1$ .

$- 2 \sqrt{16}$

Paso 4.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- 2 \cdot 4$

Paso 4.9

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8$