Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 3$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = - 3$ en la función de linealización.

$L (x) = f (- 3) + f' (- 3) (x - - 3)$

Paso 3

Evalúa $f (- 3)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Paso 3.2

Simplifica ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 27 - {(- 3)}^{2} + 5$

Paso 3.2.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 - 1 \cdot 9 + 5$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 27 - 9 + 5$

Paso 3.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.3.1

Resta $9$ de $- 27$ .

$- 36 + 5$

Paso 3.2.3.2

Suma $- 36$ y $5$ .

$- 31$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $- 3$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$3 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 9 - 2 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$27 - 2 \cdot - 3$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$27 + 6$

Paso 4.3.2

Suma $27$ y $6$ .

$33$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = - 31 + 33 (x - - 3)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = - 31 + 33 x + 33 \cdot 3$

Paso 6.1.2

Multiplica $33$ por $3$ .

$L (x) = - 31 + 33 x + 99$

Paso 6.2

Suma $- 31$ y $99$ .

$L (x) = 33 x + 68$

Paso 7