Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{3} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 4 x$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $- 4 x$ de $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza.

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Paso 5.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 5.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$0 + 4$

Paso 9.2

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Paso 11.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Paso 13.1.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 4$

Paso 13.2

Suma $- 12$ y $4$ .

$- 8$

Paso 14

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

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Paso 15.2.1.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Paso 15.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Paso 15.2.1.3.2

Suma $1$ y $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Paso 15.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Paso 15.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (- 1) = 1$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Paso 17.1.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 4$

Paso 17.2

Suma $- 12$ y $4$ .

$- 8$

Paso 18

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Paso 19.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Paso 19.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Paso 19.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Paso 19.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = 1$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(- 1, 1)$ es un máximo local

$(1, 1)$ es un máximo local

Paso 21