Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x} - 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x} - lim_{x \to 9^{-}} 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x} - lim_{x \to 9^{-}} 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - 9}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - lim_{x \to 9^{-}} 9}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{-}} x - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.8

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9^{-}} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9^{-}} 1}{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9^{-}} \sqrt{x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 9^{-}} x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$