Cálculo Ejemplos

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $y$ es $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

Paso 3

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

Paso 5.1.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ por $- 2 x$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ por $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$