Cálculo Ejemplos

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 2.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $e^{- x}$ y $2 e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Paso 4.3

Reordena los factores en $- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 3 e^{- x}$