Cálculo Ejemplos

$\int (- x^{5} + 6 e^{- 2 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int - x^{5} + 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 7.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Paso 11.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{u} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{- 2 x} + C$