Cálculo Ejemplos

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Entonces $d u = (6 x - 4) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $6 x - 4$ y $0$ .

$6 x - 4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ como $\frac{1}{10} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$