Cálculo Ejemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = \ln (x)$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Combina $x^{\ln (x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Paso 3.4.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $x^{\ln (x)}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Factoriza $x$ de $\ln (x) x^{\ln (x)}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3.2.3

Cancela el factor común.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3.2.4

Reescribe la expresión.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4.3.2.5

Divide $\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Paso 3.6

Reordena los factores de $x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Paso 3.7

Suma $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ y $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Reordena $\ln (x)$ y $x^{\ln (x) - 1}$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Paso 3.7.2

Suma $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ y $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ por $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ por $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ .

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{\ln (x) - 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Reordena los factores en $\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ .

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$