Cálculo Ejemplos

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Paso 2

Expande el lado derecho.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3

Expande $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Paso 2.5

Combina $\frac{x}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Paso 3.2.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x \ln (x)}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 3.2.5.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Paso 3.2.6

Simplifica.

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Paso 3.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Paso 3.2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.6.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Paso 5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$