Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $- \frac{y}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

Paso 1.2.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Paso 1.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Paso 1.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y - y x$ .

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Paso 1.2.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $y$ de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.5

Multiplica $y$ por $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.2.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Paso 2.3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Paso 2.3.3.2.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.6.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.3.3.1.1

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

Paso 3.6.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$