Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \div \frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} + 4 a + 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Paso 3

Factoriza $a^{2} - a - 12$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 2$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Paso 5

Factoriza $a^{2} - a - 6$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{(a - 3) (a + 2)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{{(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de ${(a - 3)}^{2}$ y $a - 3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $a - 3$ de ${(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $a - 3$ de $(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 3) {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de ${(a + 2)}^{2}$ y $a + 2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $a + 2$ de $(a - 3) {(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $a + 2$ de $(a - 4) (a + 3) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a - 4) (a + 3)}$