Matemática básica Ejemplos

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{y^{2} + 3 y + 2}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} + 3 y + 2$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{y}{y + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y (y + 2)}{(y + 1) (y + 2)} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y (y + 2) + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Paso 4.4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 4.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 5

Cancela el factor común de ${(y + 1)}^{2}$ y $y + 1$ .

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Paso 5.1

Factoriza $y + 1$ de ${(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y + 2}$