Matemática básica Ejemplos

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 1

Factoriza

y^{2} + 4 y + 3

$y^{2} + 4 y + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

3

$3$ y cuya suma es

4

$4$ .

1, 3

$1, 3$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica

\frac{y}{y + 1}

$\frac{y}{y + 1}$ por

\frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{y + 3}{y + 3}$ .

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2.2

Multiplica

\frac{y}{y + 1}

$\frac{y}{y + 1}$ por

\frac{y + 3}{y + 3}

$\frac{y + 3}{y + 3}$ .

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2.3

Multiplica

\frac{12}{y + 3}

$\frac{12}{y + 3}$ por

\frac{y + 1}{y + 1}

$\frac{y + 1}{y + 1}$ .

\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Paso 2.4

Multiplica

\frac{12}{y + 3}

$\frac{12}{y + 3}$ por

\frac{y + 1}{y + 1}

$\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 3) (y + 1)}$

Paso 2.5

Reordena los factores de

$(y + 3) (y + 1)$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y (y + 3) + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y \cdot y - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.2

Multiplica

$y$ por

$y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Mueve

$y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica

$y$ por

$y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.3

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12 \cdot 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.5

Multiplica

$12$ por

$1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Resta

$y^{2}$ de

$2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 9 y - 13 - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.2

Resta

$3 y$ de

$- 9 y$ .

$\frac{y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.3

Combina los términos opuestos en

$y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12$ .

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Paso 3.3.3.1

Suma

$- 12 y$ y

$12 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.3.2

Suma

$y^{2}$ y

$0$ .

$\frac{y^{2} - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.4

Suma

$- 13$ y

$12$ .

$\frac{y^{2} - 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = y$ y

$b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 5

Cancela el factor común de

$y + 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y + 3}$