Matemática básica Ejemplos

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{35} - 3 \sqrt{35} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $\sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 5^{1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{15 + \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.5

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.6

Multiplica $\sqrt{7} (3 \sqrt{5})$ .

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Paso 4.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Paso 4.1.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7 \cdot 7}}{38}$

Paso 4.1.8

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{49}}{38}$

Paso 4.1.9

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7^{2}}}{38}$

Paso 4.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + 7}{38}$

Paso 4.2

Suma $15$ y $7$ .

$\frac{22 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35}}{38}$

Paso 4.3

Suma $\sqrt{35}$ y $3 \sqrt{35}$ .

$\frac{22 + 4 \sqrt{35}}{38}$

Paso 5

Cancela el factor común de $22 + 4 \sqrt{35}$ y $38$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$\frac{2 (11) + 4 \sqrt{35}}{38}$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})}{38}$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{38}$

Paso 5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $38$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Forma decimal:

$1.20169260 \dots$