Matemática básica Ejemplos

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \div \frac{z^{2} + 13 z + 42}{z^{2} + 11 z + 30}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{z^{2} + 14 z + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 7$ .

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Paso 3

Factoriza $z^{2} + 11 z + 30$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $30$ y cuya suma es $11$ .

$5, 6$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z^{2} + 13 z + 42}$

Paso 4

Factoriza $z^{2} + 13 z + 42$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $42$ y cuya suma es $13$ .

$6, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $z + 7$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $z + 7$ de ${(z + 7)}^{2}$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $z + 7$ de $(z + 6) (z + 7)$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{z + 7}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{z + 7}{z - 3}$ por $\frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$ .

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $z + 6$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(z + 7) (z + 5)}{z - 3}$