Matemática básica Ejemplos

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 1

Para escribir $\frac{1}{n^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $n^{2} {(n + 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{n^{2}}$ por $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ por $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2} n^{2}} + 1$

Paso 3.3

Reordena los factores de ${(n + 1)}^{2} n^{2}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(n + 1)}^{2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${(n + 1)}^{2}$ como $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{(n + 1) (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.2

Expande $(n + 1) (n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n (n + 1) + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.3.2

Suma $n$ y $n$ .

$\frac{n^{2} + 2 n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 5.4

Suma $n^{2}$ y $n^{2}$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Paso 6

Combina en una fracción.

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Paso 6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Reescribe ${(n + 1)}^{2}$ como $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} ((n + 1) (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Expande $(n + 1) (n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n (n + 1) + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.3.2

Suma $n$ y $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + 2 n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} n^{2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $n^{2}$ por $n^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2 + 2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.5.3

Multiplica $n^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.6

Multiplica $n^{2}$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.1

Mueve $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n \cdot n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.6.2

Multiplica $n$ por $n^{2}$ .

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Paso 7.6.2.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n^{1} n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{1 + 2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.7

Suma $2 n^{2}$ y $n^{2}$ .

$\frac{3 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Paso 7.8

Reordena los términos.

$\frac{n^{4} + 2 n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$