Matemática básica Ejemplos

$\frac{z^{4} - 81}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(z^{2})}^{2} - 81}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 1.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(z^{2})}^{2} - 9^{2}}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z^{2}$ y $b = 9$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z^{2} - 9)}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z^{2} - 3^{2})}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 3$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{{(z^{2})}^{2} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{{(z^{2})}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z^{2} - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z^{2} - 1^{2})} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 2.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 1$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $z^{2} + 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $z^{2} + 9$ de $(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)$ .

$\frac{(z^{2} + 9) ((z + 3) (z - 3))}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(z^{2} + 9) ((z + 3) (z - 3))}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot (z^{2} + 1)$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $z^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $z^{2} + 1$ de $(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) ((z + 1) (z - 1))} \cdot (z^{2} + 1)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) ((z + 1) (z - 1))} \cdot (z^{2} + 1)$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z + 1) (z - 1)}$