Matemática básica Ejemplos

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = z$ y $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $z$ por $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- z$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.1.4

Multiplica $z$ por $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 4

Cancela el factor común de $z^{2} + z + 1$ .

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Paso 4.1

Factoriza $z^{2} + z + 1$ de $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ .

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Paso 5

Cancela el factor común de $z - 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{2 z + 1}$ por $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $9$ de $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Paso 7.1.2

Reescribe $9$ como $1$ más $8$

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Paso 7.1.4

Multiplica $z$ por $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Paso 8

Cancela el factor común de $2 z + 1$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Paso 8.2

Divide $z + 4$ por $1$ .

$z + 4$