Matemática básica Ejemplos

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = n$ y $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $4 m^{2}$ como ${(2 m)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Paso 3.2

Reescribe $9 n^{2}$ como ${(3 n)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 m$ y $b = 3 n$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2 m - 3 n$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2 m - 3 n$ de $(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$(n + m) (n - m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 5

Expande $(n + m) (n - m)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(n (n - m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(n \cdot n + n (- m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina los términos opuestos en $n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)$ .

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Paso 6.1.1

Reordena los factores en los términos $n (- m)$ y $m n$ .

$(n \cdot n - m n + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.1.2

Suma $- m n$ y $m n$ .

$(n \cdot n + 0 + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.1.3

Suma $n \cdot n$ y $0$ .

$(n \cdot n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$(n^{2} + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(n^{2} - m \cdot m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.2.3

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $m$ .

$(n^{2} - (m \cdot m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$(n^{2} - m^{2}) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Paso 6.3

Multiplica $n^{2} - m^{2}$ por $\frac{2 m + 3 n}{m - n}$ .

$\frac{(n^{2} - m^{2}) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = n$ y $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $n - m$ y $m - n$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $n$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 1$ de $- m$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - (m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n + m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8.1.4

Reordena los términos.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Paso 8.1.6

Divide $((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$ por $1$ .

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$

Paso 8.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(n \cdot - 1 + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Paso 8.2.2

Reordena.

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Paso 8.2.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $n$ .

$(- 1 \cdot n + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Paso 8.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $m$ .

$(- 1 \cdot n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Paso 8.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$(- n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Paso 8.3.2

Reescribe $- 1 m$ como $- m$ .

$(- n - m) (2 m + 3 n)$

Paso 9

Expande $(- n - m) (2 m + 3 n)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- n (2 m + 3 n) - m (2 m + 3 n)$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m + 3 n)$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n \cdot n - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.4

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.4.1

Mueve $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 (n \cdot n) - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.4.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Paso 10.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m \cdot m - m (3 n)$

Paso 10.1.7

Multiplica $m$ por $m$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.7.1

Mueve $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 (m \cdot m) - m (3 n)$

Paso 10.1.7.2

Multiplica $m$ por $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m^{2} - m (3 n)$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - m (3 n)$

Paso 10.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 1 \cdot 3 m n$

Paso 10.1.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 3 m n$

Paso 10.2

Resta $3 m n$ de $- 2 n m$ .

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Paso 10.2.1

Mueve $n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n - 3 m n$

Paso 10.2.2

Resta $3 m n$ de $- 2 m n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 5 m n$

Paso 11

Mueve $- 3 n^{2}$ .

$- 2 m^{2} - 5 m n - 3 n^{2}$