Matemática básica Ejemplos

$\frac{b^{2} + 6 b - 7}{6 b^{2} - 7 b - 20} \cdot (\frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3}) \div \frac{b^{2} + 5 b - 14}{3 b^{2} - 2 b - 8}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{b^{2} + 6 b - 7}{6 b^{2} - 7 b - 20} \cdot (\frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3}) \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 2

Factoriza $b^{2} + 6 b - 7$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{6 b^{2} - 7 b - 20} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 b$ .

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{6 b^{2} - 7 (b) - 20} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 7$ como $8$ más $- 15$

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{6 b^{2} + (8 - 15) b - 20} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{6 b^{2} + 8 b - 15 b - 20} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(6 b^{2} + 8 b) - 15 b - 20} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{2 b (3 b + 4) - 5 (3 b + 4)} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 b + 4$ .

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{2 b^{2} + b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 4.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{2 b^{2} + 1 b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4.1.2

Reescribe $1$ como $- 5$ más $6$

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{2 b^{2} + (- 5 + 6) b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{2 b^{2} - 5 b + 6 b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{(2 b^{2} - 5 b) + 6 b - 15}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{b (2 b - 5) + 3 (2 b - 5)}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 b - 5$ .

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{b^{2} + 2 b - 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 5

Factoriza $b^{2} + 2 b - 3$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{(b - 1) (b + 3)} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $b - 1$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(b - 1) (b + 7)}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{(b - 1) (b + 3)} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b + 7}{(3 b + 4) (2 b - 5)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{b + 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2 b - 5$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2 b - 5$ de $(3 b + 4) (2 b - 5)$ .

$\frac{b + 7}{(2 b - 5) (3 b + 4)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{b + 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{b + 7}{(2 b - 5) (3 b + 4)} \cdot \frac{(2 b - 5) (b + 3)}{b + 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{b + 3}{b + 3} \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{b + 7}{3 b + 4}$ por $\frac{b + 3}{b + 3}$ .

$\frac{(b + 7) (b + 3)}{(3 b + 4) (b + 3)} \cdot \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $b + 3$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(b + 7) (b + 3)}{(3 b + 4) (b + 3)} \cdot \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{3 b^{2} - 2 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 b$ .

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{3 b^{2} - 2 (b) - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{3 b^{2} + (4 - 6) b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{3 b^{2} + 4 b - 6 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b^{2} + 4 b) - 6 b - 8}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{b (3 b + 4) - 2 (3 b + 4)}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 b + 4$ .

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{b^{2} + 5 b - 14}$

Paso 8

Factoriza $b^{2} + 5 b - 14$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $5$ .

$- 2, 7$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{(b - 2) (b + 7)}$

Paso 9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $b + 7$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $b + 7$ de $(b - 2) (b + 7)$ .

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{(b + 7) (b - 2)}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{b + 7}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{(b + 7) (b - 2)}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{b - 2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3 b + 4$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 b + 4} \cdot \frac{(3 b + 4) (b - 2)}{b - 2}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b - 2}{b - 2}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $b - 2$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{b - 2}{b - 2}$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$1$