Matemática básica Ejemplos

$\frac{p^{2} - 6 p + 9}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 6 p + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 p = 2 \cdot p \cdot 3$

Paso 1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{p^{2} - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = p$ y $b = 3$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 22 = - 44$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 (p) - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 7$ como $4$ más $- 11$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + (4 - 11) p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + 4 p - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(2 p^{2} + 4 p) - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p (p + 2) - 11 (p + 2)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $p + 2$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 3

Factoriza $p^{2} - 6 p - 16$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 8, 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 (p) - 3}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 8$ como $1$ más $- 9$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + (1 - 9) p - 3}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + 1 p - 9 p - 3}$

Paso 4.1.4

Multiplica $p$ por $1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + p - 9 p - 3}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p^{2} + p) - 9 p - 3}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{p (3 p + 1) - 3 (3 p + 1)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 p + 1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p + 1) (p - 3)}$

Paso 5

Combinar.

$\frac{{(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(p - 3)}^{2}$ y $p - 3$ .

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Paso 6.1

Factoriza $p - 3$ de ${(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $p - 3$ de $(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $p + 2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(p - 3) (p - 8)}{(2 p - 11) (3 p + 1)}$