Matemática básica Ejemplos

$\frac{p^{2} - 4}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 2^{2}}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = p$ y $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 2

Factoriza $3 p$ de $3 p^{2} + 3 p w$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3 p$ de $3 p^{2}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 2.2

Factoriza $3 p$ de $3 p w$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p (w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 2.3

Factoriza $3 p$ de $3 p (p) + 3 p (w)$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p^{2} + 6 p) + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p (p + 6) + w (p + 6)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 3.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $p + 6$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Paso 4

Factoriza $p^{2} + 8 p + 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $8$ .

$2, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $p + 2$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p - 2}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $p + w$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $p + w$ de $3 p (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Paso 5.2.2

Factoriza $p + w$ de $(p + 6) (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{p - 2}{3 p} \cdot \frac{p + 6}{p + 6}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{p - 2}{3 p}$ por $\frac{p + 6}{p + 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $p + 6$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p - 2}{3 p}$