Matemática básica Ejemplos

$\frac{p^{2} + 12 p + 32}{p^{2} - 2 p - 24} \div (6 p^{2} + 47 p - 8)$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{p^{2} + 12 p + 32}{p^{2} - 2 p - 24}}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{p^{2} + 12 p + 32}{p^{2} - 2 p - 24} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 3

Factoriza $p^{2} + 12 p + 32$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $12$ .

$4, 8$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p + 4) (p + 8)}{p^{2} - 2 p - 24} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 4

Factoriza $p^{2} - 2 p - 24$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p + 4) (p + 8)}{(p - 6) (p + 4)} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 5

Cancela el factor común de $p + 4$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p + 4) (p + 8)}{(p - 6) (p + 4)} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 p - 8}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 8 = - 48$ y cuya suma es $b = 47$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $47$ de $47 p$ .

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + 47 (p) - 8}$

Paso 6.1.2

Reescribe $47$ como $- 1$ más $48$

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{6 p^{2} + (- 1 + 48) p - 8}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{6 p^{2} - 1 p + 48 p - 8}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{(6 p^{2} - 1 p) + 48 p - 8}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{p (6 p - 1) + 8 (6 p - 1)}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 p - 1$ .

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{(6 p - 1) (p + 8)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $p + 8$ .

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Paso 7.1

Factoriza $p + 8$ de $(6 p - 1) (p + 8)$ .

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{(p + 8) (6 p - 1)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{p + 8}{p - 6} \cdot \frac{1}{(p + 8) (6 p - 1)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{p - 6} \cdot \frac{1}{6 p - 1}$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{p - 6}$ por $\frac{1}{6 p - 1}$ .

$\frac{1}{(p - 6) (6 p - 1)}$