Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{3} - 8}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{y^{3} - 2^{3}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} + 6 y - 16$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $6$ .

$- 2, 8$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $y$ de $y^{2} + 8 y$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 3.1.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + y \cdot 8}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 3.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 8$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 3.2

Factoriza $y$ de $y^{3} + 2 y^{2} + 4 y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + 2 y^{2} + 4 y}$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + 4 y}$

Paso 3.2.3

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + y \cdot 4}$

Paso 3.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2} + y (2 y)$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4}$

Paso 3.2.5

Factoriza $y$ de $y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y + 4)}$

Paso 3.3

Combinar.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y^{2} + 2 y + 4$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) (y)}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) y}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $y + 8$ .

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Paso 3.7.2

Reescribe la expresión.

$1$