Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{2} - y - 6}{2 y^{2} + 13 y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} - y - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{2 y^{2} + 13 y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $13$ de $13 y$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{2 y^{2} + 13 (y) + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.1.2

Reescribe $13$ como $1$ más $12$

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{2 y^{2} + (1 + 12) y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{2 y^{2} + 1 y + 12 y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{2 y^{2} + y + 12 y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y^{2} + y) + 12 y + 6} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{y (2 y + 1) + 6 (2 y + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 1$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 y$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{2 y^{2} - 11 (y) - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{2 y^{2} + (1 - 12) y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{2 y^{2} + 1 y - 12 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{2 y^{2} + y - 12 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y^{2} + y) - 12 y - 6}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{y (2 y + 1) - 6 (2 y + 1)}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 1$ .

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{y^{2} + 5 y + 6}$

Paso 4

Factoriza $y^{2} + 5 y + 6$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 3) (y + 2)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y + 2$ de $(y - 3) (y + 2)$ .

$\frac{(y + 2) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 2) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 3}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{y + 3}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 3}{(2 y + 1) (y + 6)} \cdot \frac{(2 y + 1) (y - 6)}{y + 3}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 3}{y + 6} \cdot \frac{y - 6}{y + 3}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{y - 3}{y + 6}$ por $\frac{y - 6}{y + 3}$ .

$\frac{(y - 3) (y - 6)}{(y + 6) (y + 3)}$