Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{2} - 4 y - 12}{2 y^{2} - 72} \div \frac{y^{2} + 8 y + 12}{y^{2} + 12 y + 36}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{y^{2} - 4 y - 12}{2 y^{2} - 72} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} - 4 y - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 y^{2} - 72} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2} - 72$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 (y^{2}) - 72} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 y^{2} + 2 \cdot - 36} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 y^{2} + 2 \cdot - 36$ .

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 (y^{2} - 36)} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 (y^{2} - 6^{2})} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 6$ .

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 (y + 6) (y - 6)} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 4

Cancela el factor común de $y - 6$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 6) (y + 2)}{2 (y + 6) (y - 6)} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 36}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 12 y + 6^{2}}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 6$ .

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{{(y + 6)}^{2}}{y^{2} + 8 y + 12}$

Paso 6

Factoriza $y^{2} + 8 y + 12$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $8$ .

$2, 6$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{{(y + 6)}^{2}}{(y + 2) (y + 6)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 2}{2 (y + 6)} \cdot \frac{{(y + 6)}^{2}}{(y + 2) (y + 6)}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 (y + 6)} \cdot \frac{{(y + 6)}^{2}}{y + 6}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y + 6$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y + 6$ de $2 (y + 6)$ .

$\frac{1}{(y + 6) \cdot 2} \cdot \frac{{(y + 6)}^{2}}{y + 6}$

Paso 7.2.2

Factoriza $y + 6$ de ${(y + 6)}^{2}$ .

$\frac{1}{(y + 6) \cdot 2} \cdot \frac{(y + 6) (y + 6)}{y + 6}$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(y + 6) \cdot 2} \cdot \frac{(y + 6) (y + 6)}{y + 6}$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y + 6}{y + 6}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{y + 6}{y + 6}$ .

$\frac{y + 6}{2 (y + 6)}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $y + 6$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 6}{2 (y + 6)}$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$