Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{2} - 4}{4 y + 8} \div \frac{2 y^{2} - 8 y + 8}{8 y + 16}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{y^{2} - 4}{4 y + 8} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2^{2}}{4 y + 8} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{4 y + 8} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $4$ de $4 y + 8$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{4 (y) + 8} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.1.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{4 y + 4 \cdot 2} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $4 y + 4 \cdot 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{4 (y + 2)} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{4 (y + 2)} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{8 y + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $8 y + 16$ y $2 y^{2} - 8 y + 8$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $8 y$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y) + 16}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.3.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y) + 2 \cdot 8}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (4 y) + 2 (8)$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 y^{2} - 8 y + 8}$

Paso 3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2}) - 8 y + 8}$

Paso 3.3.4.2

Factoriza $2$ de $- 8 y$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2}) + 2 (- 4 y) + 8}$

Paso 3.3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (y^{2}) + 2 (- 4 y)$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2} - 4 y) + 8}$

Paso 3.3.4.4

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2} - 4 y) + 2 \cdot 4}$

Paso 3.3.4.5

Factoriza $2$ de $2 (y^{2} - 4 y) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2} - 4 y + 4)}$

Paso 3.3.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{2 (4 y + 8)}{2 (y^{2} - 4 y + 4)}$

Paso 3.3.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 y + 8}{y^{2} - 4 y + 4}$

Paso 3.4

Factoriza $4$ de $4 y + 8$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y) + 8}{y^{2} - 4 y + 4}$

Paso 3.4.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 y + 4 \cdot 2}{y^{2} - 4 y + 4}$

Paso 3.4.3

Factoriza $4$ de $4 y + 4 \cdot 2$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{y^{2} - 4 y + 4}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{y^{2} - 4 y + 2^{2}}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{{(y - 2)}^{2}}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y - 2$ de ${(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{(y - 2) (y - 2)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{y - 2}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{(y - 2) (y - 2)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{y - 2}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (y + 2)}{y - 2}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 2}{y - 2}$