Matemática básica Ejemplos

$\frac{y^{2} - 4}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2^{2}}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} - 7 y + 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2}{y - 4}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{2}{y - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2}{y - 4} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2}{y - 4}$ por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y + 2) (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(y + 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (y - 2) + 2 (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.2

Combina los términos opuestos en $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 4.2.1

Reordena los factores en los términos $y \cdot - 2$ y $2 y$ .

$\frac{y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.2.2

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.2.3

Suma $y \cdot y$ y $0$ .

$\frac{y \cdot y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 4 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 4 - 2 y - 2 \cdot - 3}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.5

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 4 - 2 y + 6}{(y - 4) (y - 3)}$

Paso 4.6

Suma $- 4$ y $6$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 2}{(y - 4) (y - 3)}$