Matemática básica Ejemplos

$\frac{8 v + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $8 v + 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $8 v$ .

$\frac{2 (4 v) + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (4 v) + 2 (1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 v) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 v^{2} - 3 v - 18$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 v^{2}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 v$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $3$ de $- 18$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (v^{2}) + 3 (- v)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v - 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.2.2

Factoriza $v^{2} - v - 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 ((v - 3) (v + 2))} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $9$ y $3 v^{2} - 12 v + 9$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 v^{2}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) - 12 v + 9}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $3$ de $- 12 v$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) + 3 (- 4 v) + 9}$

Paso 1.3.2.3

Factoriza $3$ de $3 (v^{2}) + 3 (- 4 v)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 9}$

Paso 1.3.2.4

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)}$

Paso 1.3.2.5

Factoriza $3$ de $3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

Paso 1.3.2.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

Paso 1.3.2.7

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{v^{2} - 4 v + 3}$

Paso 1.4

Factoriza $v^{2} - 4 v + 3$ con el método AC.

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Paso 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{v - 1}{v - 1}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ por $\frac{v - 1}{v - 1}$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ por $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1) + 3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (4 v) + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(8 v + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(8 v + 2) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.4

Expande $(8 v + 2) (v - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 v (v - 1) + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1.1.1

Mueve $v$ .

$\frac{8 (v \cdot v) + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.5.1.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{8 v^{2} + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.5.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.5.2

Suma $- 8 v$ y $2 v$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 9 \cdot 2}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.8

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.9

Suma $- 6 v$ y $9 v$ .

$\frac{8 v^{2} + 3 v - 2 + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Paso 6.10

Suma $- 2$ y $18$ .

$\frac{8 v^{2} + 3 v + 16}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$