Matemática básica Ejemplos

$\frac{8 a}{a^{2} - 3 a - 4} - \frac{32}{a^{2} \cdot (3 a) - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $a^{2} - 3 a - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{a^{2} \cdot (3 a) - 4}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{2} a - 4}$

Paso 1.2.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 (a \cdot a^{2}) - 4}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $a$ por $a^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 (a^{1} a^{2}) - 4}$

Paso 1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{1 + 2} - 4}$

Paso 1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{3} - 4}$

Paso 2

Para escribir $\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4}$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} \cdot \frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4} - \frac{32}{3 a^{3} - 4}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{32}{3 a^{3} - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} \cdot \frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4} - \frac{32}{3 a^{3} - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)}$ por $\frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4}$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)} - \frac{32}{3 a^{3} - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{32}{3 a^{3} - 4}$ por $\frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4) - 32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $8$ de $8 a (3 a^{3} - 4) - 32 (a - 4) (a + 1)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $8$ de $8 a (3 a^{3} - 4)$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4)) - 32 (a - 4) (a + 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $8$ de $- 32 (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4)) + 8 (- 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $8$ de $8 (a (3 a^{3} - 4)) + 8 (- 4 (a - 4) (a + 1))$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4) - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (a (3 a^{3}) + a \cdot - 4 - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 (3 a \cdot a^{3} + a \cdot - 4 - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{8 (3 a \cdot a^{3} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $a$ por $a^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $a^{3}$ .

$\frac{8 (3 (a^{3} a) - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.5.2

Multiplica $a^{3}$ por $a$ .

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Paso 6.5.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (3 (a^{3} a^{1}) - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 (3 a^{3 + 1} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a + (- 4 a - 4 \cdot - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.7

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a + (- 4 a + 16) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.8

Expande $(- 4 a + 16) (a + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a (a + 1) + 16 (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a \cdot a - 4 a \cdot 1 + 16 (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a \cdot a - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.9.1.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 (a \cdot a) - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.9.1.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.9.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.9.1.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a + 16 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.9.2

Suma $- 4 a$ y $16 a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} + 12 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Paso 6.10

Suma $- 4 a$ y $12 a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a^{2} + 8 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$