Matemática básica Ejemplos

$\frac{a}{a^{2} - 36} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} - 6^{2}} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 6$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Paso 1.2

Factoriza $a^{2} - 2 a - 24$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ por $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(a - 6) (a + 4) (a + 6)$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a (a + 4) + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 \cdot a + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.4

Expande $(a - 10) (a + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 4 a + a (a + 6) - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.5.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 \cdot a - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.5.1.3

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 a - 10 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.5.2

Resta $10 a$ de $6 a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.6

Suma $a^{2}$ y $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + 4 a - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.7

Resta $4 a$ de $4 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 0 - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.8

Suma $2 a^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 a^{2} - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.9

Factoriza $2$ de $2 a^{2} - 60$ .

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Paso 6.9.1

Factoriza $2$ de $2 a^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.9.2

Factoriza $2$ de $- 60$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 \cdot - 30}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Paso 6.9.3

Factoriza $2$ de $2 a^{2} + 2 \cdot - 30$ .

$\frac{2 (a^{2} - 30)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$