Matemática básica Ejemplos

$\frac{a}{a^{2} - 16} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} - 4^{2}} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 4$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Paso 1.2

Factoriza $a^{2} + 5 a + 4$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a (a + 1) - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{a^{2} + a - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + a - 3 a - 3 \cdot - 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{a^{2} + a - 3 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Paso 6.6

Resta $3 a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$