Matemática básica Ejemplos

$\frac{9 y}{y^{2} - 12 + 36} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Suma $- 12$ y $36$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 6^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 6$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ por $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ por $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $9$ de $9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $9$ de $9 y {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $9$ de $- 54 (y^{2} + 24)$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $9$ de $9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2} - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.2

Reescribe ${(y - 6)}^{2}$ como $(y - 6) (y - 6)$ .

$\frac{9 (y ((y - 6) (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.3

Expande $(y - 6) (y - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (y (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.4.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.4.2

Resta $6 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 12 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (y \cdot y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 6.6.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 (y^{1} y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.6.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 (y^{1 + 2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.6.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{9 (y^{3} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.6.3

Mueve $36$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.7

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1

Mueve $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 (y \cdot y) + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.7.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 6 \cdot 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.9

Multiplica $- 6$ por $24$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Paso 6.10

Resta $6 y^{2}$ de $- 12 y^{2}$ .

$\frac{9 (y^{3} - 18 y^{2} + 36 y - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$