Matemática básica Ejemplos

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Paso 1.2

Factoriza $a$ de $a^{2} + a$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a}$

Paso 1.2.2

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $a$ de $a^{1}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot 1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{1}{a (a + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 1) (a - 1) a$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{a (a + 1)}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a + 1) (a - 1) a$ .

$\frac{(a + 3) a}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a + 3) a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 3 a - a - - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.5

Resta $a$ de $3 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 2 a + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.6.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Paso 6.6.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 6.6.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 7

Cancela el factor común de ${(a + 1)}^{2}$ y $a + 1$ .

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Paso 7.1

Factoriza $a + 1$ de ${(a + 1)}^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $a + 1$ de $a (a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$