Matemática básica Ejemplos

$\frac{5 y^{2} - 29 y - 6}{y + 4} \div \frac{5 y^{2} + 21 y + 4}{y^{2} + 8 y + 16}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{5 y^{2} - 29 y - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ y cuya suma es $b = - 29$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 29$ de $- 29 y$ .

$\frac{5 y^{2} - 29 (y) - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 29$ como $1$ más $- 30$

$\frac{5 y^{2} + (1 - 30) y - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 y^{2} + 1 y - 30 y - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{5 y^{2} + y - 30 y - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 y^{2} + y) - 30 y - 6}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (5 y + 1) - 6 (5 y + 1)}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 y + 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 16}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 8 y + 4^{2}}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2}}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 4$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{5 y^{2} + 21 y + 4}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ y cuya suma es $b = 21$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $21$ de $21 y$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{5 y^{2} + 21 (y) + 4}$

Paso 4.1.2

Reescribe $21$ como $1$ más $20$

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{5 y^{2} + (1 + 20) y + 4}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{5 y^{2} + 1 y + 20 y + 4}$

Paso 4.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{5 y^{2} + y + 20 y + 4}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{(5 y^{2} + y) + 20 y + 4}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{y (5 y + 1) + 4 (5 y + 1)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 y + 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{(5 y + 1) (y + 4)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $5 y + 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 y + 1) (y - 6)}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{(5 y + 1) (y + 4)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 6}{y + 4} \cdot \frac{{(y + 4)}^{2}}{y + 4}$

Paso 6

Cancela el factor común de $y + 4$ .

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Paso 6.1

Factoriza $y + 4$ de ${(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{y - 6}{y + 4} \cdot \frac{(y + 4) (y + 4)}{y + 4}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{y - 6}{y + 4} \cdot \frac{(y + 4) (y + 4)}{y + 4}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$(y - 6) \frac{y + 4}{y + 4}$

Paso 7

Cancela el factor común de $y + 4$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$(y - 6) \frac{y + 4}{y + 4}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$(y - 6) \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $y - 6$ por $1$ .

$y - 6$