Matemática básica Ejemplos

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 1) {(a + 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) (a + 1)}$

Paso 4.3

Eleva $a + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} (a + 1) (a - 1)}$

Paso 4.4

Eleva $a + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1} (a - 1)}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1 + 1} (a - 1)}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 (a - 1) + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 a + 5 \cdot - 1 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 a - 5 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8 \cdot 1}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6.5

Suma $5 a$ y $8 a$ .

$\frac{13 a - 5 + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Paso 6.6

Suma $- 5$ y $8$ .

$\frac{13 a + 3}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$