Matemática básica Ejemplos

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = c$ y $b = 3$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

Paso 1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6}{c + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(c + 3) (c^{2} - c + 9)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6}{c + 3}$ por $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(c^{2} - c + 9) (c + 3)$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $6 (c^{2} - c + 9)$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9) + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 c^{2} + 2 (- c) + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 18 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.4

Suma $- 2 c$ y $c$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 18 + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 6.5

Suma $18$ y $3$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 7

Para escribir $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Paso 8

Para escribir $- \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

Paso 9

Escribe cada expresión con un denominador común de $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ por $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 9.3

Reordena los factores de $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $3$ de $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.1.2

Factoriza $3$ de $- 162 (c^{2} - c + 9)$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.1.3

Factoriza $3$ de $3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.2

Expande $(2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{3 (2 c^{2} c^{2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1

Multiplica $c^{2}$ por $c^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.1.1

Mueve $c^{2}$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} c^{2}) + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (2 c^{2 + 2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{2} c + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.3

Multiplica $c^{2}$ por $c$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.3.1

Mueve $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c \cdot c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.3.2

Multiplica $c$ por $c^{2}$ .

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Paso 11.3.3.2.1

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c^{1} c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{1 + 2} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.5

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.6

Multiplica $c$ por $c^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.6.1

Mueve $c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.6.2

Multiplica $c^{2}$ por $c$ .

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Paso 11.3.6.2.1

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c^{1}) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{2 + 1} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c \cdot c - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.8

Multiplica $c$ por $c$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.8.1

Mueve $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 (c \cdot c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.8.2

Multiplica $c$ por $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.10

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.11

Multiplica $- 3$ por $21$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.3.12

Multiplica $21$ por $9$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.4

Resta $c^{3}$ de $- 6 c^{3}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 18 c^{2} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.5

Suma $18 c^{2}$ y $3 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 21 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.6

Suma $21 c^{2}$ y $21 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 9 c - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.7

Resta $63 c$ de $- 9 c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} - 54 (- c) - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.9

Simplifica.

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Paso 11.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 54$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.9.2

Multiplica $- 54$ por $9$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.10

Resta $54 c^{2}$ de $42 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 72 c + 189 + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.11

Suma $- 72 c$ y $54 c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c + 189 - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Paso 11.12

Resta $486$ de $189$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c - 297)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$