Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \div \frac{z^{2} + 14 z + 49}{3 z^{2} + 26 z + 35}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 7 (z) - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 7$ como $5$ más $- 12$

$\frac{3 z^{2} + (5 - 12) z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 35 = 105$ y cuya suma es $b = 26$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $26$ de $26 z$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 (z) + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3.1.2

Reescribe $26$ como $5$ más $21$

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + (5 + 21) z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 5 z + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z^{2} + 5 z) + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{z (3 z + 5) + 7 (3 z + 5)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 7^{2}}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 7$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 5

Cancela el factor común de $z + 7$ .

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Paso 5.1

Factoriza $z + 7$ de $(3 z + 5) (z + 7)$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$(3 z + 5) (z - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 6

Expande $(3 z + 5) (z - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 z (z - 4) + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.1

Mueve $z$ .

$(3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 7.1.1.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$(3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 7.2

Suma $- 12 z$ y $5 z$ .

$(3 z^{2} - 7 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 8

Multiplica $3 z^{2} - 7 z - 20$ por $\frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{(3 z^{2} - 7 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 z$ .

$\frac{(3 z^{2} - 7 (z) - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $5$ más $- 12$

$\frac{(3 z^{2} + (5 - 12) z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{((3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.2

Combina exponentes.

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Paso 9.2.1

Eleva $3 z + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} (3 z + 5) (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Eleva $3 z + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} {(3 z + 5)}^{1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 z + 5)}^{1 + 1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{2} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$