Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 y^{2} - 20 y - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ y cuya suma es $b = - 20$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 20$ de $- 20 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 20 (y) - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 20$ como $1$ más $- 21$

$\frac{3 y^{2} + (1 - 21) y - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 1 y - 21 y - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{3 y^{2} + y - 21 y - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 y^{2} + y) - 21 y - 7}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (3 y + 1) - 7 (3 y + 1)}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y + 1$ .

$\frac{(3 y + 1) (y - 7)}{y - 4} \cdot \frac{y^{2} - 12 y + 32}{y - 7}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} - 12 y + 32$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 8, - 4$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 y + 1) (y - 7)}{y - 4} \cdot \frac{(y - 8) (y - 4)}{y - 7}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $y - 7$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $y - 7$ de $(3 y + 1) (y - 7)$ .

$\frac{(y - 7) (3 y + 1)}{y - 4} \cdot \frac{(y - 8) (y - 4)}{y - 7}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 7) (3 y + 1)}{y - 4} \cdot \frac{(y - 8) (y - 4)}{y - 7}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y + 1}{y - 4} \cdot ((y - 8) (y - 4))$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y - 4$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y - 4$ de $(y - 8) (y - 4)$ .

$\frac{3 y + 1}{y - 4} \cdot ((y - 4) (y - 8))$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 y + 1}{y - 4} \cdot ((y - 4) (y - 8))$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$(3 y + 1) \cdot (y - 8)$

Paso 4

Expande $(3 y + 1) (y - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y (y - 8) + 1 (y - 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 8 + 1 (y - 8)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot - 8 + 1 y + 1 \cdot - 8$

Paso 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1.1

Mueve $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 8 + 1 y + 1 \cdot - 8$

Paso 5.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot - 8 + 1 y + 1 \cdot - 8$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$3 y^{2} - 24 y + 1 y + 1 \cdot - 8$

Paso 5.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 y^{2} - 24 y + y + 1 \cdot - 8$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 y^{2} - 24 y + y - 8$

Paso 5.2

Suma $- 24 y$ y $y$ .

$3 y^{2} - 23 y - 8$