Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \div \frac{7 p^{2} - 13 p - 2}{10 p^{2} - 13 p - 3}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 p$ .

$\frac{3 p^{2} - 5 (p) - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{3 p^{2} + (1 - 6) p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 p^{2} + 1 p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.1.4

Multiplica $p$ por $1$ .

$\frac{3 p^{2} + p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 p^{2} + p) - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{p (3 p + 1) - 2 (3 p + 1)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 p + 1$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 3

Factoriza $y^{2} + y - 2$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 4

Factoriza $y^{2} + 5 y - 6$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $5$ .

$- 1, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $8$ de $8 p$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 (p) + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5.1.2

Reescribe $8$ como $3$ más $5$

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + (3 + 5) p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 3 p + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(15 p^{2} + 3 p) + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{3 p (5 p + 1) + 1 (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 p + 1$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(5 p + 1) (3 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 6

Cancela el factor común de $3 p + 1$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3 p + 1$ de $(5 p + 1) (3 p + 1)$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 7

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p - 2}{y + 2} \cdot \frac{y + 6}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 8

Multiplica $\frac{p - 2}{y + 2}$ por $\frac{y + 6}{5 p + 1}$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 p$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 (p) - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9.1.2

Reescribe $- 13$ como $2$ más $- 15$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + (2 - 15) p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + 2 p - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(10 p^{2} + 2 p) - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{2 p (5 p + 1) - 3 (5 p + 1)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 p + 1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Paso 10

Factoriza por agrupación.

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Paso 10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 7 \cdot - 2 = - 14$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 p$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 (p) - 2}$

Paso 10.1.2

Reescribe $- 13$ como $1$ más $- 14$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + (1 - 14) p - 2}$

Paso 10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + 1 p - 14 p - 2}$

Paso 10.1.4

Multiplica $p$ por $1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + p - 14 p - 2}$

Paso 10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p^{2} + p) - 14 p - 2}$

Paso 10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{p (7 p + 1) - 2 (7 p + 1)}$

Paso 10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 p + 1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p + 1) (p - 2)}$

Paso 11

Cancela el factor común de $p - 2$ .

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Paso 11.1

Factoriza $p - 2$ de $(7 p + 1) (p - 2)$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 6}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Paso 12

Cancela el factor común de $5 p + 1$ .

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Paso 12.1

Factoriza $5 p + 1$ de $(y + 2) (5 p + 1)$ .

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 6}{y + 2} \cdot \frac{2 p - 3}{7 p + 1}$

Paso 13

Multiplica $\frac{y + 6}{y + 2}$ por $\frac{2 p - 3}{7 p + 1}$ .

$\frac{(y + 6) (2 p - 3)}{(y + 2) (7 p + 1)}$