Matemática básica Ejemplos

$\frac{2 y}{y^{2} + 5 y + 6} + \frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} + 5 y + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)} + \frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 3}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + 2 y - 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)} + \frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)} \cdot \frac{y + 2}{y + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 2) (y + 3) (y - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 y}{(y + 2) (y + 3)}$ por $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{2 y (y - 1)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)} + \frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)} \cdot \frac{y + 2}{y + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{y + 1}{(y - 1) (y + 3)}$ por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{2 y (y - 1)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)} + \frac{(y + 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 3) (y + 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y - 1) (y + 3) (y + 2)$ .

$\frac{2 y (y - 1)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)} + \frac{(y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y (y - 1) + (y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + (y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 + (y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 + (y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + (y + 1) (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.4

Expande $(y + 1) (y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y (y + 2) + 1 (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y \cdot y + y \cdot 2 + 1 (y + 2)}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y \cdot y + y \cdot 2 + 1 y + 1 \cdot 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y^{2} + y \cdot 2 + 1 y + 1 \cdot 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y^{2} + 2 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.5.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y^{2} + 2 y + y + 1 \cdot 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y^{2} + 2 y + y + 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.5.2

Suma $2 y$ y $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y + y^{2} + 3 y + 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.6

Suma $2 y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - 2 y + 3 y + 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$

Paso 6.7

Suma $- 2 y$ y $3 y$ .

$\frac{3 y^{2} + y + 2}{(y + 2) (y + 3) (y - 1)}$