Matemática básica Ejemplos

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \div \frac{5 k^{2} + 6 k - 11}{25 k^{2} - 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 k$ .

$\frac{5 k^{2} - 4 (k) - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 4$ como $1$ más $- 5$

$\frac{5 k^{2} + (1 - 5) k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 k^{2} + 1 k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.1.4

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{5 k^{2} + k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 k^{2} + k) - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{k (5 k + 1) - (5 k + 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 11 = 55$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $16$ de $16 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 (k) + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3.1.2

Reescribe $16$ como $5$ más $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + (5 + 11) k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 5 k + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(5 k^{2} + 5 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $25 k^{2}$ como ${(5 k)}^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1^{2}}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5 k$ y $b = 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 11 = - 55$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $6$ de $6 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 (k) - 11}$

Paso 5.1.2

Reescribe $6$ como $- 5$ más $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + (- 5 + 11) k - 11}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} - 5 k + 11 k - 11}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(5 k^{2} - 5 k) + 11 k - 11}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k (k - 1) + 11 (k - 1)}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $k - 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $k - 1$ .

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Paso 6.1

Factoriza $k - 1$ de $(5 k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$

Paso 7

Multiplica $\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)}$ por $\frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$ .

$\frac{(5 k + 1) ((5 k + 1) (5 k - 1))}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Paso 8

Eleva $5 k + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} (5 k + 1) (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Paso 9

Eleva $5 k + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} {(5 k + 1)}^{1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(5 k + 1)}^{1 + 1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Paso 12

Eleva $5 k + 11$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} (5 k + 11))}$

Paso 13

Eleva $5 k + 11$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} {(5 k + 11)}^{1})}$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{1 + 1}}$

Paso 15

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{2}}$