Matemática básica Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{7}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{7}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{7}{{(x - 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) {(x - 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 3)} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) ({(x - 3)}^{1} (x - 3))} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.3

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1}} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} - \frac{7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{7}{{(x - 3)}^{2}}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{(x + 3) {(x - 3)}^{2}} - \frac{7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(x + 3) {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)} - \frac{7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 3) - 7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 7 (x + 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 7 x - 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 7 x - 21}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 6.6

Resta $7 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x - 21}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$