Matemática básica Ejemplos

$\frac{y - 1}{y^{2} + 9 y + 20} + \frac{3 y}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} + 9 y + 20$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $9$ .

$4, 5$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} + \frac{3 y}{y^{2} + 2 y - 8}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + 2 y - 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 4) (y + 5) (y - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{y - 1}{(y + 4) (y + 5)}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 y}{(y - 2) (y + 4)}$ por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y (y + 5)}{(y - 2) (y + 4) (y + 5)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y - 2) (y + 4) (y + 5)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 2)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)} + \frac{3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y - 1) (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(y - 1) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (y - 2) - 1 (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2) + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - y + 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.2.2

Resta $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y (y + 5)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y \cdot y + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y^{2} + 3 y \cdot 5}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 2 + 3 y^{2} + 15 y}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.6

Suma $y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 3 y + 2 + 15 y}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.7

Suma $- 3 y$ y $15 y$ .

$\frac{4 y^{2} + 12 y + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.8

Factoriza $2$ de $4 y^{2} + 12 y + 2$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $2$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 12 y + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.8.2

Factoriza $2$ de $12 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (6 y) + 2}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.8.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (6 y) + 2 (1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.8.4

Factoriza $2$ de $2 (2 y^{2}) + 2 (6 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} + 6 y) + 2 (1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$

Paso 6.8.5

Factoriza $2$ de $2 (2 y^{2} + 6 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} + 6 y + 1)}{(y + 4) (y + 5) (y - 2)}$